Теорема Реллиха
В математическом анализе и дифференциальном исчислении теорема Реллиха — теорема о целых решениях дифференциального уравнения, доказанная в 1940 году Францем Реллихом.
Формулировка
|
Пусть в дифференциальном уравнении
правая часть является всюду сходящимся степенным рядом по [math]\displaystyle{ x,t }[/math] (целой функцией). Если имеется два решения [math]\displaystyle{ x=u(t) }[/math] и [math]\displaystyle{ x=v(t) }[/math], которые являются целыми функциями [math]\displaystyle{ t }[/math], то любое другое целое решение [math]\displaystyle{ x=w(t) }[/math] имеет вид
при надлежащим образом выбранной константе [math]\displaystyle{ c }[/math]. Если [math]\displaystyle{ f(x,t) }[/math] не является линейной функцией [math]\displaystyle{ x }[/math], то имеется не более чем счётное число констант [math]\displaystyle{ c_n }[/math], при которых выражение
является решением и множество [math]\displaystyle{ c_n }[/math] не может иметь конечной предельной точки. |
Последнее утверждение допускает обращение: всегда существует нелинейное дифференциальное уравнение с целой правой частью, имеющее бесконечную серию целых решений [math]\displaystyle{ u(t)+(v(t)-u(t))c_n }[/math] при любых заданных [math]\displaystyle{ u(t), v(t) }[/math], не равных друг другу ни при каком значении [math]\displaystyle{ t }[/math], и любом наборе чисел [math]\displaystyle{ c_n }[/math] (имеющих предельную точку разве лишь на бесконечности).
Следствия
Следствием теоремы Реллиха является то, что общее решение [math]\displaystyle{ x=x(t,C) }[/math] нелинейного уравнения [math]\displaystyle{ \dot x= f(x,t) }[/math] с целой правой частью не может быть целой функцией от t, в то время как всякое линейное дифференциальное уравнение с целыми коэффициентами всегда имеет целое общее решение.
Ссылки
- Rellich, Fr. Ueber die ganzen Loesungen einer gewoehnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (нем.) // Math. Ann.. — 1940. — Т. 117. — С. 587—589.
- Виттих Г. Глава V. Приложения к обыкновенным дифференциальным уравнениям // Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. — М.: Физматлит, 1960. — С. 114.